ניתוח מהיר לכמות ההודף שנדרש לנחיתה של הבז

Aside

אחד הדברים החמים בנושא של שיגורים לחלל זה הנסיון של Space-X להנחית את השלב הראשון של המשגר שלהם על מנחת באמצע הים. הנחתה של שלב ראשון היא גישה מהפכנית, והכי קרוב לזה היא חילוץ של המאיצים של מעברות החלל מהים. לרוב, כל הטיל הוא פשוט חד-פעמי. לנחיתה כזאת יש אתגרים רבים, אך אחת השאלות המעניינות היא – בכמה זה יעלה את משקל השיגור? משקל התחלתי הוא פרמטר קריטי בשיגורי חלל, וכל קילו הוא חשוב. לכן החלטתי ברשומה הזאת להעריך כמה הודף צריך בשביל להנחית את השלב הראשון של Falcon 9 בשלום.

הניתוח שלי יהיה מאוד מאוד מופשט. פרופיל הנחיתה האמיתי הוא הרבה יותר מסובך ממה שאני מניח וניתן למצוא אותו כאן. אני אשתדל להסביר את ההנחות המפשטות שלי במהלך החישוב, ומבטיח לעשות את החישוב כמה שיותר פשוט. שנתחיל?

קודם כל, עלינו להבין איזו מסה אנחנו להנחית. השלב הראשון שוקל ריק כנראה כ-28 טון. נניח שזאת המסה שאנחנו צריכים לעצור. כמובן, שבחישוב אמיתי יש צורך לקחת גם את מסת ההודף שאנחנו צריכים להשאיר בשביל להפעיל את המנוע בזמן עצירה, אך זה מסבך מעט את החישובים, לכן נניח שאנחנו עוצרים 28 טון.

איזו מהירות מפתח השלב שנופל לכדור הארץ? על טיל שנופל פועלים שתי כוחות – כח המשיכה של כדור הארץ, שמאיץ את הטיל, והגרר של האוויר שמעט את הטיל. המהירות שבה הטיל יפול היא מהירות שבה שני הכוחות האלה שווים. כח המשיכה הוא 274.7 קילוניוטונים (תזכרו, שאת המשקל, כמו שאר הכוחות, אנחנו מודדים בניוטונים).

כח הגרר נתון על ידי הנוסחה הבאה:

D=\frac{1}{2}\rho v^2AC_D

כאשר D הוא כח הגרר, \rho צפיפות האוויר, v היא המהירות שאנחנו מעוניינים למצוא, A שטח חתך הטיל, ו-C_D הוא מקדם הגרר של הטיל. במצב מתמיד צריך להתקיים D=W. כיוון שגובה ההיפרדות של השלב הראשון הוא 90 ק"מ, אפשר להניח שיש לנו פה מצב מתמיד.

בואו נעבור על המקדמים. כיוון שהטיל נוחת בגובה פני הים, נניח ש-\rho = 1.125\frac{kg}{m^3}. למעשה, הצפיפות קטנה יותר ככל שעולים לגובה, ולכן בחישוב האמיתי צריך לקחת את זה בחשבון (זה יגדיל את המהירות הסופית, ובכך גם את כמות ההודף שנדרש לעצירה). קוטר הטיל הוא 3.7 מטר, לכן השטח הוא 10.75 מטר רבוע. עבור מקדם הגרר, אפשר לקרב את השלב הראשון לגליל. עבור גליל עם יחס אורך-קוטר גבוה יחסית, כמו במקרה של השלב הראשון, אפשר להעריך ש-C_D = 0.8. מכאן אנחנו מקבלים שהמהירות שהשלב הראשון יפתח בנפילה חופשית באטמוספרה תהייה 238.2 מטר לשניה. זאת מהירות מאוד גבוהה – היא מהווה בערך שלושת רבעי מהירות הקול.

בנחיתה מופעל רק מנוע אחד מהתשעה שיש לחללית. דחף של מנוע מרלין 1-D בגובה פני הים הוא 654 קילו-ניוטון. אם עוד פעם נניח שמסה של השלב לא משתנה, אז כשהמנוע מופעל על שלב ריק, ואחרי שאנחנו משקללים את תאוצת הכובד, התאותה תהייה 13.45 מטר לשניה בריבוע. אם נניח שאנחנו רוצים להגיע ממהירות הנפילה לעצירה מוחלטת, אז המנוע צריך לעבוד 17.7 שניות על מנת לעצור את הנפילה.

כמה הודף המנוע יצרוך ב-17.7 שניות? הדחף של המנוע, בקירוב טוב, הוא T=U_e\dot{m} כאשר U_e זה מהירות יציאת הגזים מהמנוע ו-\dot{m} זה הספיקה. U_e ניתן לחישוב מהנתונים של המנוע - U_e=Isp\cdot g_0 איפה ש-Isp זאת התקיפה הסגולית של המנוע ו-g_0 תאוצת הכובד של כדור הארץ. התקיפה הסגולית של מרליו 1-D בגובה פני הים היא 282 שניות, על כן מהירות היציאה של הגזים מהמנוע היא 2766 מטר לשניה. מכאן, ספיקת ההודף היא 236 ק"ג לשניה, ועל מנת לעצור את הטיל צריך 4177 קילו הודף.

האם יותר מ-4 טון הודף זה הרבה? זה בהחלט נשמע הרבה. כמו שכתבתי בהתחלה – בשיגורי חלל נלחמים על כל קילו. אבל אם נסתכל בנתונים, כמות ההודף של השלב הראשון היא בערך 385 טונות. מסת ההמראה של כל הטיל היא יותר מ-500 טון. כלומר, מדובר כאן בתוספת של כאחוז אחד למסת ההמראה בשביל שאפשר יהיה להתשמש מחדש בשלב הראשון. כמו שאמרתי בהתחלה, זה רק הערכה, וכנראה שתוספת למסת ההמראה תהיה גדולה יותר, אך כנראה לא גדולה יותר בסדר גודל. על כן, יש לנו תוספת של כמה אחוזים למסת ההמראה, שתאפשר בעתיד להשתמש מחדש בשלב הראשון של הטיל. נראה שהתוספת הזאת משתלמת.